¿Qué son los números complejos?

En pocas palabras, los números complejos son aquellos que tienen dos partes:

• Una parte real, como por ejemplo 3 o 7.5.
• Y otra imaginaria, como 5j o -7j.

Como puedes ver, la parte imaginaria viene acompañada de j, aunque es también común usar la i (de imaginario). Un número complejo tiene la siguiente forma:

parte_real + parte_imaginaria*j

Veamos unos ejemplos:

a = 5 + 5j
b = 1.3 - 7j

También podemos tener un número complejo con parte real igual a cero.

c = 10.3j

Una vez vistos cómo son, vamos a ponerlos en contexto con el resto de conjuntos numéricos:

• Los números enteros hacen referencia a los números naturales, es decir, todos aquellos números que no contienen parte decimal: 3, -1, 10.
• Los números racionales son el cociente de dos números naturales: 3/10, 7/9.
• Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como una fracción m/n. Por ejemplo, el número pi es irracional.
• Los números reales son el conjunto de todos los anteriores, es decir, cualquier número que se te ocurra sería un número real.
• Los números imaginarios son números reales acompañados de la constante i (a veces la j es usada indistintamente), como 4i o 3.7i.
• Y por último los números complejos son la suma de un número real y otro imaginario, dando lugar a los ya vistos 5+5j.

Llegados a este punto, tal vez te preguntes ¿y qué es i? Pues bien, i es simplemente un nombre que se le da a la raíz cuadrada de -1, ya que si recuerdas, los números negativos no tienen raíces cuadradas. Esta notación se la debemos al famoso Leonhard Euler.

Por lo tanto, la raíz cuadrada de -5, podría expresarse como 5i, y aunque pueda parecer algo poco relevante, se trata de una herramienta muy potente en el mundo de las matemáticas, física e ingeniería.

¿Para qué sirven los números complejos?

Los números complejos son muy utilizados en las telecomunicaciones y electrónica, ya que son muy útiles para describir las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

También son usados en diferentes dominios de las matemáticas y en física, donde destaca su uso en la mecánica cuántica.

Un número complejo puede representarse en un plano, donde el eje x representa la parte real y el eje y la imaginaria. Es decir, se puede ver a un número complejo 5+5i como un punto de coordenadas.

Una vez representado en esta gráfica, cualquier número complejo formará un ángulo con el eje x. Todo número complejo tiene también un módulo, que es la distancia que une el punto del origen de coordenadas 0+0i.

Ahora sólo tienes que imaginarte a este punto dando vueltas a una determinada frecuencia alrededor del plano, y ya estarías describiendo a una onda sin haberte dado cuenta.

Números complejos en Python

Los números complejos en Python pueden ser creados sin tener que importar ninguna librería. Basta con hacer lo siguiente:

c = 3 + 5j
print(c)       #(3+5j)
print(type(c)) #<class 'complex'>

Podemos ver como la clase que representa a los complejos en Python se llama complex. Una vez creado, es posible acceder a la parte real con real y a la imaginaria con imag.

c = 3 + 5j
print(c.real) #3.0
print(c.imag) #5.0

También se puede crear un número complejo haciendo uso de complex, pero sin usar la j.

c = complex(3,5)
print(c) #(3+5j)

Operaciones con números complejos

Usando variables del tipo complex, podemos realizar las operaciones más comunes típicas de los números complejos.

Suma de complejos

Para sumar números complejos, se suman las partes reales por un lado, y las imaginarias por otro.

a = 1 + 3j
b = 4 + 1j
print(a+b) #(5+4j)

Resta de complejos

Para restar, se restan las partes reales por un lado y las imaginarias por otro.

a = 1 + 3j
b = 4 + 1j
print(a-b) #(-3+2j)

Multiplicación de complejos

La multiplicación es algo más compleja. Si multiplicamos a+bj por c+dj, se puede demostrar fácilmente que el resultado es (ac-bd) para la parte real y (ad+bc) para la imaginaria.

a = 1 + 3j
b = 4 + 1j
print(a*b) #(1+13j)

División de complejos

También podemos hacer la división. Si quieres saber cómo se dividen dos números complejos y su demostración matemática, te dejamos este enlace.

a = 1 + 3j
b = 4 + 1j
print(a/b) #(0.41+0.64j)

Conjugado de complejos

Por último, podemos realizar el conjugado de un número complejo en Python con el método conjugate(). Calcular el conjugado consiste en negar la parte imaginaria, es decir, cambiar si signo de + a - y viceversa.

a = 1 + 1j
print(a.conjugate()) #(1-1j)

Librería cmath

Si quieres realizar más operaciones con número complejos, tal vez quieras echar un vistazo a la librería cmath, que es mucho más completa, y compleja.

Algunas de las cosas que puedes hacer son las siguientes:

• Calcular la fase, que es el ángulo que forma el vector con el eje x, en radianes.
• Calcular la forma polar, es decir módulo y ángulo.

import cmath

print(cmath.phase(complex(5, 0))) # 0.0
print(cmath.polar(complex(5, 5))) # (7.0710678118654755, 0.7853981633974483)